בגרות 471: שאלות 1–3גיאומטריה 471 · שיעור 27
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות
שיעור 27: בגרות 471: שאלות 1–3
פרק 11 · שאלות בגרות
1קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 – מרובע חסום
2חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 – מעגל ומשיק
3קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 – מעגל, משיק ודמיון
בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף א
המרובע ABCD חסום במעגל, ונתון: ∢A = ∢C
א. הוכיחו כי BD הוא קוטר במעגל
א. הוכיחו כי BD הוא קוטר במעגל
∢A + ∢C = 180
מרובע חסום: סכום זוויות נגדיות 180
∢A = ∢C = 180 : 2 = 90
נתון ∢A = ∢C – מחלקים ב־2
∢BCD = 90 – זווית היקפית הנשענת על BD ← BD קוטר
זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: BD קוטר במעגל
📐 משפט
מרובע חסום במעגל: סכום כל זוג זוויות נגדיות 180 מעלות
∢A + ∢C = 180
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 משפט הפוך
זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ב
נתון: B(0 , 12) , D(0 , 2)
ב. מצאו את משוואת המעגל
ב. מצאו את משוואת המעגל
M = (0 , (12 + 2) : 2) = (0 , 7)
מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר BD
R = BD : 2 = (12 − 2) : 2 = 5
הרדיוס – חצי קוטר
x² + (y − 7)² = 25
משוואת מעגל
✅ פתרון סופי: x² + (y − 7)² = 25
📐 נוסחה
אמצע קטע
x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📐 נוסחה
משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R
(x − a)² + (y − b)² = R²
בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ג
נתון: שיפוע הצלע BC הוא −½
ג. (1) מצאו את משוואת DC (2) מצאו את שיעורי C
ג. (1) מצאו את משוואת DC (2) מצאו את שיעורי C
DC ⊥ BC
∢BCD = 90 (סעיף א)
−½ · mDC = −1 ⟹ mDC = 2
ישרים מאונכים
y − 2 = 2(x − 0) ⟹ y = 2x + 2
משוואת ישר דרך D(0 , 2)
BC: y = −½x + 12
משוואת ישר דרך B(0 , 12)
2x + 2 = −½x + 12 ⟹ 2.5x = 10 ⟹ x = 4
חיתוך שני ישרים
y = 2 · 4 + 2 = 10 ← C(4 , 10)
מציבים x = 4
✅ פתרון סופי: (1) y = 2x + 2 (2) C(4 , 10)
📐 משפט
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
📐 משפט
ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1
m₁ · m₂ = −1
📐 נוסחה
משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y₁ = m(x − x₁)
📐 כלל
נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ד
E אמצע הצלע DC
ד. חשבו את שטח המשולש BCE
ד. חשבו את שטח המשולש BCE
E = ((0 + 4) : 2 , (2 + 10) : 2) = (2 , 6)
אמצע קטע
BC = √(4² + 2²) = √20
מרחק בין B(0 , 12) ל־C(4 , 10)
CE = √(2² + 4²) = √20
מרחק בין C ל־E
S = √20 · √20 : 2 = 20 : 2 = 10
∢BCE = 90: שטח משולש ישר זווית
✅ פתרון סופי: שטח המשולש BCE הוא 10
📐 נוסחה
אמצע קטע
x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
📐 נוסחה
מרחק בין שתי נקודות
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
📐 נוסחה
שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב : 2
בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ה
ה. חשבו את גודל הזווית ∢BEC ואת גודל הזווית ∢DBE
tan∢BEC = BC : CE = √20 : √20 = 1
טנגנס במשולש ישר הזווית BCE
∢BEC = 45
מחשבון: tan⁻¹ 1
∢EBC = 90 − 45 = 45
סכום הזוויות במשולש BCE
DC = √(4² + 8²) = √80
מרחק בין D(0 , 2) ל־C(4 , 10)
tan∢DBC = DC : BC = √80 : √20 = 2
טנגנס במשולש ישר הזווית BCD
∢DBC ≈ 63.43
מחשבון: tan⁻¹ 2
∢DBE = 63.43 − 45 = 18.43
BE בתוך הזווית ∢DBC
✅ פתרון סופי: ∢BEC = 45 , ∢DBE ≈ 18.43
📐 הגדרה
טנגנס במשולש ישר זווית
tan∢A = ניצב מול ∢A : ניצב ליד ∢A
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 נוסחה
מרחק בין שתי נקודות
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
📐 כלל
אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף א
מעגל שמרכזו M(6 , 10) משיק לציר ה־x בנקודה A
א. מצאו את משוואת המעגל
א. מצאו את משוואת המעגל
MA ⊥ ציר ה־x ← A(6 , 0) , R = MA = 10
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
(x − 6)² + (y − 10)² = 100
משוואת מעגל
✅ פתרון סופי: (x − 6)² + (y − 10)² = 100
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 נוסחה
משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R
(x − a)² + (y − b)² = R²
בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף ב
B – נקודת חיתוך של המעגל עם ציר ה־y (מעל M). BC משיק למעגל ב־B
ב. (1) מצאו את B (2) מצאו את משוואת המשיק BC
ב. (1) מצאו את B (2) מצאו את משוואת המשיק BC
(0 − 6)² + (y − 10)² = 100 ⟹ (y − 10)² = 64
מציבים x = 0 במשוואת המעגל
y − 10 = ±8 ⟹ y = 18 או y = 2
שורש
B(0 , 18)
לפי הסרטוט B מעל M
mMB = (18 − 10) : (0 − 6) = −4/3
שיפוע
mBC · (−4/3) = −1 ⟹ mBC = 3/4
משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים
y − 18 = 0.75(x − 0) ⟹ y = 0.75x + 18
משוואת ישר
✅ פתרון סופי: (1) B(0 , 18) (2) y = 0.75x + 18
📐 כלל
נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 נוסחה
שיפוע ישר דרך שתי נקודות
m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט
ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1
m₁ · m₂ = −1
📐 נוסחה
משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y₁ = m(x − x₁)
בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: ∢BCA = 90
ג. (1) הוכיחו: AC ∥ MB (2) הוכיחו: AB חוצה את ∢CAM
ג. (1) הוכיחו: AC ∥ MB (2) הוכיחו: AB חוצה את ∢CAM
AC ⊥ BC
נתון ∢BCA = 90
MB ⊥ BC
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
AC ∥ MB
שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים
MA = MB
רדיוסים
∢MAB = ∢MBA
△MAB שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
∢MBA = ∢BAC
MB ∥ AC – זוויות מתחלפות שוות
∢MAB = ∢BAC ← AB חוצה את ∢CAM
שתי הזוויות שוות ל־∢MBA
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC ∥ MB , ו־AB חוצה את ∢CAM
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט
שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 הגדרה
חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף ד
ד. חשבו את אורך הקטע AC
mAC = mMB = −4/3
AC ∥ MB – שיפועים שווים
AC: y = −4/3 (x − 6) ⟹ y = −4/3 x + 8
משוואת ישר דרך A(6 , 0)
−4/3 x + 8 = 0.75x + 18
חיתוך AC עם המשיק BC: משווים את ה־y
−25/12 x = 10 ⟹ x = −4.8
מעבירים אגפים ומחלקים
y = 0.75 · (−4.8) + 18 = 14.4 ← C(−4.8 , 14.4)
מציבים
AC = √(10.8² + 14.4²) = √324 = 18
מרחק בין A(6 , 0) ל־C
✅ פתרון סופי: AC = 18
📐 משפט
ישרים מקבילים: השיפועים שווים
m₁ = m₂
📐 נוסחה
משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y₁ = m(x − x₁)
📐 כלל
נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 נוסחה
מרחק בין שתי נקודות
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף א
ABC חסום במעגל שמרכזו M , AC קוטר. המעגל משיק לציר ה־y ב־C. D על ציר ה־y ו־∢BAC = ∢ADC
א. הוכיחו: △ABC ∼ △DCA
א. הוכיחו: △ABC ∼ △DCA
∢ABC = 90
זווית היקפית הנשענת על קוטר
∢DCA = 90
הקוטר AC מאונך למשיק (ציר ה־y) בנקודת ההשקה
∢BAC = ∢ADC
נתון
△ABC ∼ △DCA
ז.ז
✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △DCA
📐 משפט
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב
ב. האם BC ∥ AD? נמקו
∢BCA = ∢DAC
במשולשים דומים זוויות מתאימות שוות
אלו זוויות מתחלפות בין BC ל־AD עם החותך AC
BC ∥ AD
זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: כן, BC ∥ AD
📐 הגדרה
משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות באותו יחס k
📐 משפט הפוך
אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: C(0 , 4) , B(−2 , 0)
ג. (1) משוואת AB (2) שיעורי A (3) משוואת המעגל
ג. (1) משוואת AB (2) שיעורי A (3) משוואת המעגל
mBC = (4 − 0) : (0 + 2) = 2
שיפוע
2 · mAB = −1 ⟹ mAB = −½
AB ⊥ BC (∢ABC = 90): ישרים מאונכים
y − 0 = −½(x + 2) ⟹ y = −½x − 1
משוואת ישר דרך B
AC: y = 4
AC מאונך לציר ה־y ב־C
−½x − 1 = 4 ⟹ x = −10 ← A(−10 , 4)
חיתוך AB עם AC
M = ((−10 + 0) : 2 , 4) = (−5 , 4) , R = 5
מרכז = אמצע הקוטר AC
(x + 5)² + (y − 4)² = 25
משוואת מעגל
✅ פתרון סופי: y = −½x − 1 , A(−10 , 4) , (x + 5)² + (y − 4)² = 25
📐 נוסחה
שיפוע ישר דרך שתי נקודות
m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
📐 משפט
ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1
m₁ · m₂ = −1
📐 נוסחה
משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y₁ = m(x − x₁)
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 כלל
נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים
📐 נוסחה
אמצע קטע
x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
📐 נוסחה
משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R
(x − a)² + (y − b)² = R²
בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד
ד. (1) מצאו את יחס הדמיון בין △ABC ל־△DCA (2) מצאו את שטח המרובע ABCD
BC = √(2² + 4²) = √20 , CA = 10
מרחק בין שתי נקודות
k = BC : CA = √20 : 10 = 1 : √5
לפי סדר האותיות BC מתאימה ל־CA
AB = √(8² + 4²) = √80
מרחק בין A ל־B
S(ABC) = √80 · √20 : 2 = 40 : 2 = 20
שטח משולש ישר זווית
S(DCA) = 20 : k² = 20 · 5 = 100
יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
S(ABCD) = 20 + 100 = 120
סכום שטחי שני המשולשים
✅ פתרון סופי: k = 1 : √5 , שטח ABCD הוא 120
📐 נוסחה
מרחק בין שתי נקודות
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 נוסחה
שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב : 2
📐 משפט
במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
S₁ : S₂ = k²
📌 מה למדנו היום
📐 משפט הפוך
זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
📐 משפט
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט
ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1
m₁ · m₂ = −1
📐 נוסחה
משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R
(x − a)² + (y − b)² = R²
💡 בשאלה משולבת: קודם ההוכחה (סעיף א), ואחריה משתמשים בה בסעיפים האנליטיים.
בשיעור הבא: עוד שלוש שאלות בגרות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא